前言
Andrew 算法可以在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度通过单调栈分别求出散点的上凸壳和下凸壳，来求出平面上一些点的凸包。
看懂这篇博客，大家需要掌握：
基础计算几何知识 单调栈凸包
首先，什么是凸包？
给你平面上的点集，你需要从中选出最少的点，使得这些点所组成的 凸多边形 可以包裹住其他所有点。这些点所组成的凸多边形就是凸包。
譬如下面这个点集：
它的凸包是：
下面我将会告诉大家怎么求。
序曲
Andrew 算法需要先对所有点按照 \(x\) 坐标为第一关键字、 \(y\) 坐标为第二关键字排序。如上面的点集，经过排序后是：
ABFEDCGJHILMNKO
那么 \(A\) 和 \(O\) 一定在凸包上，因为它们无法被其他点所组成的凸多边形覆盖。
按照 Andrew 算法的逻辑，我们需要先求出凸包的一半 “凸壳”。下面将会以上凸壳为例，下凸壳与其类似。
一段上凸壳一定满足顺时针遍历时，每个节点在每条边所组成的向量的右边（下凸壳在左边）（就是凸包的“凸”，下同）。这句话大家可能不能完全理解，不过没有关系，我会给大家慢慢道来。
流程
首先，按照排序后的点集遍历点集，第一个遍历到的是 \(B\) （ \(A\) 不考虑）。我们可以连接 \(AB\) ：
然后下一个点是 \(F\) ，继续连接 \(BF\) ：
下一个点是 \(E\) ，继续连接 \(FE\) ：
下一个点是 \(D\) ，继续连接 \(ED\) ：
但是这样子我们遇到了问题， \(D\) 在 \(FE\) 左侧，它不凸了，我们的解决办法是：
断掉以前连的边，直到遇到可以连接的点，满足凸壳性质
我们可以断掉 \(ED,FE\) ，连接 \(FD\) ，发现还是不满足。
我们继续，断掉 \(FD,BF\) ，连接 \(BD\) ，这回满足了。
下一个点是 \(C\) ，继续连接 \(DC\) ：
发现又不凸了，我们断掉 \(DC,BD\) 连接 \(BC\) ，就可以满足了：
下一个点是 \(G\) ，继续连接 \(CG\) :
发现不凸，我们断掉 \(CG,BC\) ，连接 \(BG\) ：
下一个点是 \(J\) ，继续连接 \(GJ\) :
下一个点是 \(H\) ，继续连接 \(JH\) :
发现不凸，我们断掉 \(GJ,JH\) ，连接 \(GH\) ：
下一个点是 \(I\) ，继续连接 \(HI\) :
下一个点是 \(L\) ，继续连接 \(IL\) :
发现不凸，我们断掉 \(IL,HI\) ，连接 \(HL\) ：
发现不凸，我们断掉 \(HL，GH\) ，连接 \(GL\) ：
发现不凸，我们断掉 \(GL，BG\) ，连接 \(BL\) ：
下一个点是 \(M\) ，继续连接 \(LM\) :
下一个点是 \(N\) ，继续连接 \(MN\) :
发现不凸，我们断掉 \(MN，LM\) ，连接 \(LN\) ：
下一个点是 \(K\) ，继续连接 \(NK\) :
发现不凸，我们断掉 \(LN，NK\) ，连接 \(LK\) ：
最后一个点是 \(O\) ，我们连接 \(KO\) ：
这样子上凸壳便求出来，下凸壳我们一般从 \(O\) 遍历到 \(A\) ，按照以前的逻辑做即可，最后结果如下：
实现
维护“不凸就断边”我们使用单调栈，如果不满足凸的性质就弹栈，最后入栈即可。注意我们不需要模拟断边操作，只需要将点删除即可。
还有，如何判断是否在左边呢？我们可以使用叉乘的右手定则：
参考代码如下：
int stk[100005];
bool used[100005];
vector<Point> ConvexHull(Point* poly, int n){ // Andrew算法求凸包
int top=0;
sort(poly+1,poly+n+1,[&](Point x,Point y){
return (x.x==y.x)?(x.y<y.y):(x.x<y.x);
});
stk[++top]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
while(top>1&&dcmp((poly[stk[top]]-poly[stk[top-1]])*(poly[i]-poly[stk[top]]))<=0){
used[stk[top--]]=0;
}
used[i]=1;
stk[++top]=i;
}
int tmp=top;
for(int i=n-1;i;i--){
if(used[i]) continue;
while(top>tmp&&dcmp((poly[stk[top]]-poly[stk[top-1]])*(poly[i]-poly[stk[top]]))<=0){
used[stk[top--]]=0;
}
used[i]=1;
stk[++top]=i;
}
vector<Point> a;
for(int i=1;i<=top;i++){
a.push_back(poly[stk[i]]);
}
return a;
}
课后习题
P2742 [USACO5.1]圈奶牛Fencing the Cows /【模板】二维凸包 P3829 [SHOI2012]信用卡凸包